EJERCICIOS RESUELTOS DE ALGEBRA

Estudiar si la relación definida en Z = {enteros} por aRb a + b múltiplo de 2, es de equivalencia y determinar el conjunto cociente en caso de que lo sea.

Respuesta 1

Para comprobar que la relación anterior es de equivalencia hacemos :

Propiedad reflexiva , ya que a+a = 2 a que es múltiplo de 2.

Propiedad simétrica : Si aRb entonces a+b es múltiplo de 2, pero a+b = b+a y, por lo tanto b+a es múltiplo de 2, esto es bRa.

Propiedad transitiva : Si aRb y bRc entonces a+b es múltiplo de 2 y b+c es múltiplo de 2. De ahí a+b+b+c = a + 2b + c es múltiplo de 2 y trivialmente a+c es múltiplo de 2 puesto que 2b siempre es múltiplo de 2. Por todo ello, aRc.

La relación así definida si es de equivalencia y el conjunto cociente es Z/R = {pares , impares}